求证:(m+n)/2≥[(m^n)*(n^m)]^[1/(m+n)]

其中m,n∈R+
我证了好久都证不出来..
为什么
n/2*(1+1/x)/[m^x*n^(1-x)]
=(1+1/x)/2*(n/m)^x

不应该是n/2*(1+1/x)/[m^x*n^(1-x)] =(1+1/x)/2*(m/n)^x 么?
而且..
当m<n时，n/m>1,n/(m+n)>1,(n/m)^x>1 为什么n/(m+n)可以大于1?

令n/(m+n)=x,m/(m+n)=1-x，m+n=n/x
(m+n)/2=n/2*(1+1/x)
√（m^n*n^m）开m+n次方
=m^(n/m+n)*n^(m/m+n)
=m^x*n^(1-x)
n/2*(1+1/x)/[m^x*n^(1-x)]
=(1+1/x)/2*(n/m)^x
由于x=n/(m+n)<=1,1/x>=1,1+1/x>=2
那么(1+1/x)/2>=1
对于
(n/m)^x=(n/m)^[n/(m+n)]
当m=n时，(n/m)^x=1
当m>n时，n/m<1,n/(m+n)<1,(n/m)^x>1
当m<n时，n/m>1,n/(m+n)>1,(n/m)^x>1
因此(n/m)^x>=1
所以(1+1/x)/2*(n/m)^x>=1*1=1
(m+n)/2≥√（m^n*n^m）开m+n次方
证毕

[(m+n)/2]^(m+n)
≥[(mn)^(1/2)]^(m+n)
=m^(m+n)/2*n^(m+n)/2 (1)
(1)式除以m^n×n^m得
[m^(m+n)/2*n^(m+n)/2]/(m^n×n^m)
=m^(m-n)/2*n^(n-m)/2
=[m^(m-n)/2]/[n^(m-n)/2]
=(m/n)^[(m-n)/2] (2)
m≥n时,m/n≥1,(m-n)/2≥0，所以(2)式≥1
m<n时,m/n<1,(m-n)/2<0，所以(2)式>1
所以无论m，n的大小关系如何,均有(2)式≥1
所以(1)式≥m^n×n^m
所以[(m+n)/2]^(m+n)≥(1)式≥m^n×n^m

[(m+n)/2]^(m+n)
≥[(mn)^(1/2)]^(m+n)
=m^(m+n)/2*n^(m+n)/2 (1)
(1)式除以m^n×n^m得